Технический форум UT2FW

О работе приемника DDC и передатчика DUC в высших зонах Найквиста

Из теории дискретных сигналов известно, что:

1. Спектр дискретного сигнала периодически повторяется на бесконечном интервале частот с периодом, равным частоте дискретизации Fs. Половина периода спектра называется зоной Найквиста (см. рис. во вложении). Спектры в четных и нечетных зонах взаимно инверсны.

2. При дискретизации и восстановлении вещественного видеосигнала (спектр которого ограничен только сверху) частота дискретизации Fs по-Котельникову должна быть больше удвоенной ширины спектра этого сигнала. Если сигнал комплексный, то требования к Fs смягчаются в два раза. Спектр видеосигнала должен целиком находиться в первой зоне Найквиста. Восстановление выполняется фильтром нижних частот, полоса пропускания которого целиком должна находиться также в первой зоне Найквиста.

3. При дискретизации и восстановлении вещественного радиосигнала (спектр которого ограничен и снизу и сверху) частота дискретизации Fs также должна быть больше удвоенной ширины спектра этого сигнала. Спектр радиосигнала должен целиком находиться в любой выбранной зоне Найквиста. Восстановление выполняется полосовым фильтром, полоса пропускания которого также должна целиком находиться в любой (возможно, что и другой) зоне Найквиста.

Этот случай (п. 3) называется субдискретизацией, при этом частота дискретизации не удовлетворяет условию Котельникова для видеосигнала, а может быть во много раз ниже. Применяя только операции дискретизации и восстановления, можно из видеосигнала получить радиосигнал и наоборот, а также гонять радиосигнал между разными зонами Найквиста. Это свойство дискретных сигналов позволяет нам использовать цифровой DDC КВ приемник для приема УКВ радиосигналов. А также непосредственно формировать УКВ радиосигнал в DUC КВ передатчике.

Во временнОй области математической моделью операции дискретизации в АЦП является линейная свёртка (http://www.dsplib.ru/content/conv/conv.html) исходного непрерывного сигнала S(t), взятого в дискретные моменты времени kTs, и дискретизирующего импульса So(t):

Sд(t) = <Сумма от k=-oo до k=+oo> [ S(kTs) So(t-kTs) ],

где Sд(t) - дискретный сигнал, t - непрерывное время, Ts - интервал дискретизации, k - номер дискретного отсчета, <Сумма>[] - операция суммирования в указанных пределах индекса k, oo - обозначение символа бесконечности.

В частотной области в левой части модели мы имеем спектр дискретного сигнала, а в правой части - нашей свёртке соответствует произведение спектра исходного сигнала, взятого в дискретные моменты времени, и спектра дискретизирующего импульса. Это утверждение следует из свойства преобразования Фурье о взаимной трансформации свёртки в произведение.

Всё это в теории. А эта теория (в части п.1 о бесконечной и незатухающей периодичности спектра) верна только для идеального случая, когда в качестве дискретизирующего импульса So(t) принята дельта-функция - импульс прямоугольной формы бесконечно малой длительности и единичной площади. Так как спектр дельта-функции есть единичная константа на всех частотах, то на спектр дискретного сигнала идеальный дискретизирующий импульс никак не влияет.

В реальных АЦП и ЦАП дискретизирующий импульс далек от идеала, т. к. имеет конечную ненулевую длительность (To) и форму, отличную от прямоугольной. Это приводит к искажениям АЧХ преобразователей ЦАП/АЦП, потере энергии сигнала в высших зонах Найквиста, ухудшению отношения сигнал-шум приемника.

Иллюстрация механизма влияния этой неидеальности приведена на рисунке во вложении. Если дискретизирующий импульс имеет прямоугольную форму, то его амплитудный спектр есть многолепестковая функция вида |sin x / x|, ширина лепестков которой обратно пропорциональна длительности импульса.

На рисунке приведены нормированные спектры дискретизирующего прямоугольного импульса для трех случаев:
- идеальный дискретизирующий импульс дельта-функция (зеленый);
- неидеальный импульс с длительностью в четверть интервала дискретизации To = Ts / 4 (синий);
- наихудший случай, когда длительность дискретизирующего импульса равна интервалу дискретизации To = Ts (красный). Этот случай характерен для ЦАП со ступенчатым выходным сигналом и для интегрирующих АЦП.

Мы видим, что в наилучшем случае идеальный дискретизирующий импульс имеет постоянный единичный спектр (зеленый график с бесконечно широким главным лепестком спектра), и его умножение на спектр исходного сигнала не приведет ни к малейшим искажениям АЧХ.

В наихудшем случае (красный график с узкими лепестками спектра) даже при работе только в первой зоне Найквиста мы будем иметь подавление сигнала на частоте Найквиста 4 дБ. О работе в других зонах Найквиста здесь и речи быть не может, т.к. в них затухание сигнала может быть очень большим или даже бесконечным.

Уменьшение длительности дискретизирующего импульса приводит к расширению его спектра и улучшению ситуации. Например, если его укоротить в 4 раза (синий график с расширенными в 4 раза лепестками спектра), то уже вполне сносно можно работать в первых трех-четырех зонах Найквиста. К слову, АЦП LTC2208 имеет дискретизирующий импульс To = Ts / 2, что делает весьма проблематичной его работу в зонах Найквиста выше третьей, где затухание сигнала будет превышать 9 дБ.

Выводы. Для работы в высших зонах Найквиста:

1. Следует выбирать АЦП с малой длительностью дискретизирующего импульса (АЦП с малой апертурой). В этом смысле качество АЦП определяет та его аналоговая часть, которая называется устройством выборки и хранения (УВХ, sample and hold circuit), выборка сигнала в котором должна выполняться очень быстро, в течение малой доли интервала дискретизации.

2. ЦАП должен формировать на выходе (перед полосовым фильтром) не ступенчатый дискретный сигнал, как это обычно происходит, а сигнал в виде коротких прямоугольных импульсов.

Зачем нужна рандомизация выходного кода АЦП в приемнике DDC-SDR

Некоторые высококачественные и высокодинамичные АЦП (к примеру, тот же LTC2208 и др.) имеют режим работы с рандомизацией выходного кода. В этом режиме выходной код АЦП, передаваемый по внешней параллельной шине данных, делается случайным. Рандомизация выполняется очень просто - все разряды выходного кода, кроме младшего, суммируются по модулю 2 со значением младшего разряда. И поскольку младший разряд всегда шумит, выходной код АЦП также становится случайным. Естественно, то устройство, которое принимает этот код (например, ПЛИС), должно выполнить обратную операцию для его восстановления.

Зачем это нужно? А нужно это затем, чтобы в некоторой степени нивелировать последствия плохой развязки аналоговых и цифровых цепей АЦП из-за неудачной разводки печатной платы.

Один из сильных источников влияния цифровых цепей на чувствительный аналоговый вход АЦП - это выходные буферы данных самого АЦП, которые при переключении потребляют по шинам питания значительный импульсный ток. Если на вход АЦП подать синусоиду или любой другой периодический сигнал, то разряды выходного кода станут "хлопать" так же периодически, причём каждый разряд - со своим периодом. В результате этого, из-за плохой развязки, на вход АЦП наводится периодическая помеха. Спектр помехи имеет множество дискретных спектральных составляющих (шпор, spurs), которые возвышаются над шумовым пьедесталом.

Рандомизация нужна для того, чтобы убрать периодичность переключения разрядов выходного кода и сделать их случайными. При этом наводка никуда не девается, но она перестает быть периодичной, и мощность шпор ровным тонким слоем размазывается по спектру в частотной области. Естественно, это приводит к небольшому повышению шумового пьедестала и соответствующему ухудшению чувствительности приемника.

Хороший способ проверить правильность разводки АЦП - это включить и выключить режим рандомизации. Если при включении рандомизации пьедестал шума поднялся - значит есть проблема с развязкой цепей, но это также значит, что есть и резерв для дальнейшего повышения чувствительности и динамического диапазона приемника. Если разводка выполнена правильно, режим рандомизации включать не требуется.

Зачем делают искусственное зашумление входного сигнала АЦП (дизеризация, dithering). Нужна ли дизеризация в DDC-SDR приемнике.

В предыдущем сообщении мы рассмотрели благотворное влияние искусственного зашумления на характеристики АЦП. Дизеризация - это тоже искусственное зашумление, но уже не сигнала помехи, а полезного входного сигнала АЦП. Некоторые высококачественные АЦП (например, LTC2208) имеют режим работы с встроенной дизеризацией.

Ранее мы уже рассматривали применение дизеризации в цифровом синтезаторе частоты DDS для декорреляции ошибки квантования выходного сигнала синтезатора. В DDS обычно ищут некоторый компромисс между качеством сигнала и сложностью реализации. Так как чем точнее требуется воспроизвести сигнал, тем больше дефицитной памяти требуется выделить в ПЛИС для хранения таблицы значений функции косинуса.

Зачем же дизеризация нужна в АЦП? Ведь на первый взгляд зашумление полезного сигнала может только всё ухудшить. На самом деле резон есть.

Если рассматривать ошибку округления результата преобразования входного сигнала в АЦП (шум квантования), то не всегда этот шум является белым (то есть с равномерной спектральной плотностью) и относительно безвредным. Очень часто шум квантования сильно коррелирован (взаимосвязан) с входным сигналом. Например, если на вход АЦП мы подали одну единственную синусоиду, то шум квантования будет иметь явно выраженную периодичность, от чего на спектре появятся опять те же самые шпоры. Метод избавления от шпор нам уже известен - нужно декоррелировать шум квантования. Это достигается зашумлением одного-двух младших значащих бит выходного кода АЦП, благодаря чему мощность шпор равномерно размазывается по частоте. Обычно шум добавляется на входе АЦП в аналоговом виде, но могут быть и другие варианты. Можно добавлять как белый, так и "окрашенный" шум - его спектральные характеристики большого значения не имеют, лишь бы он был достаточно широкополосен. Окрашенный шум добавляют тогда, когда есть возможность вынести его спектр за пределы рабочей полосы частот входных сигналов.

Этот прием применяется везде, где при эксплуатации устройств допустимо наличие на входе одного или нескольких периодических сигналов, а собственные шумы устройства малы или отсутствуют. Например, в измерительных приборах, спектроанализаторах, профессиональной звуковой аппаратуре.

В цифровом приемнике применять дизеризацию не требуется, если, конечно, этот приемник использовать по назначению, а не в качестве измерительного прибора. Но дизеризация окрашенным шумом нужна при измерении технических параметров цифрового приемника, когда эфирного шума нет, а испытательные сигналы подаются от генератора. При этом спектр вносимого шума выносят за пределы рабочего диапазона частот приемника. Как только мы подключим к приемнику антенну, никакого дополнительного зашумления входного сигнала уже не потребуется. Широкополосный сигнал с антенны - лучший на свете дизеризатор.

Есть ли что-нибудь общее между DDC и операцией дискретного преобразования Фурье (DFT / FFT).
Можно ли DDC реализовать при помощи вычислительно эффективной процедуры FFT.

Рассмотрим математическую модель дискретного преобразования Фурье некоторого дискретного вещественного сигнала x(k), которое вычисляется поблочно, с длиной блока N точек.

X(n) = {сумма k=0, N-1} [ x(k) exp (-i Wn k) ]

где
X(n) - комплексные дискретные значения спектра для текущего блока входного сигнала х(k) на кратных частотах Wn;
n - номер спектральной составляющей, n = 0, ... N-1;
k - дискретное время - номер отсчета исходного сигнала в блоке, k = 0, ... N-1;
N - количество точек в блоке сигнала, оно же равно количеству точек спектра на его периоде;
exp (-i Wn k) = cos (Wn k) - i sin (Wn k) - комплексная экспонента отрицательной частоты -Wn;
Wn = 2 пи n / N - это те дискретные нормированные частоты на интервале от 0 до двух пи радиан, для которых вычисляется спектр: W0 - нулевая частота постоянной составляющей, W1 - шаг по частоте, W(N/2) - частота Найквиста пи, WN - частота дискретизации 2 пи.

Не забываем, что спектр дискретного сигнала периодический, а период спектра N здесь равен нормированной частоте дискретизации 2 пи. Отсюда легко вычисляются все частоты Wn как в нормированном, так и в натуральном виде.

Что мы здесь видим? А видим то, что в этой модели есть много общего с DDC (т.е. это немного не доделанный DDC):

1. Умножение исходного вещественного сигнала х(k) на комплексную экспоненту некоторой отрицательной частоты -Wn. Такая операция в частотной области приводит к сдвигу двустороннего симметричного спектра исходного сигнала влево на величину Wn, после чего сигнал становится комплексным, а исходная частота Wn становится нулевой. Ровно эта же операция выполняется и в квадратурном преобразователе DDC.

2. Фильтрация сдвинутого по частоте сигнала однокаскадным CIC фильтром - однородным нерекурсивным фильтром нижних частот порядка N, с многолепестковой частотной характеристикой вида |sin x / x|. АЧХ этого фильтра см. во вложении. Этот фильтр в модели представлен операцией суммирования результатов умножения. Его импульсная характеристика задана неявно в виде прямоугольного единичного взвешивающего окна размером N точек, на которое умножается сигнал x(k) при формировании текущего блока данных. Операция фильтрации выполняется и в DDC, с тем лишь отличием, что там фильтр не является случайным, а специально проектируется для минимизации спектральных наложений при децимации, и CIC (да и то многокаскадный) применяется лишь в первых каскадах дециматора.

3. Децимация выходного сигнала в N раз. Действительно, для каждого частотного канала FFT (которые отличаются значениями Wn), на каждые N точек входного сигнала мы имеем только одно комплексное значение выходного сигнала X(n).

Итак, FFT можно рассматривать как N-канальную систему DDC, у которой частотные каналы по их центру настроены на частоты Wn. Каждый канал имеет выход в виде комплексной огибающей (complex envelope) на нулевой промежуточной частоте и с пониженной частотой дискретизации в N раз. Полоса и АЧХ каждого канала определяется фильтром по п. 2. С единственной лишь оговоркой - этот однокаскадный CIC фильтр дает неприемлемо большие спектральные наложения (алиасы) в каналах нашего DDC. Этой же причиной объясняется и такое явление, как "растекание спектра" (spectrum leakage) при FFT.

Можно ли побороть этот недостаток? Да, можно. Для этого нужно заменить прямоугольную взвешивающую (weighting) оконную функцию на такую, спектр которой обладал бы нужными нам свойствами. Подобных окон напридумано много разных (оконные функции Чебышева, Хэмминга, Ханна, Кайзера, Блэкмана и т.д. и.т.п.), для всех их характерно плавное спадание по краям во временной области и сильное подавление боковых лепестков спектра в частотной области. Иными словами, перед выполнением FFT каждый блок входного сигнала надо бы умножать на такого рода плавное взвешивающее окно. При этом АЧХ всех частотных каналов будут абсолютно идентичными и зависеть только от формы выбранной оконной функции (точнее, от модуля ее спектра).

Конечно же, никакие известные "оконные функции" в чистом виде нам не подходят, так как нам хотелось бы иметь ровную АЧХ в канале, а не "горбатую". Да ещё и с подавлением спектральных наложений не хуже сотни децибел. Значит, для нашего устройства придется проектировать своё собственное окно. Это дело несложное, и нужное нам окно (или что то же самое - импульсная характеристика фильтра, набор его коэффициентов) ищется при помощи обратного преобразования Фурье от требуемой комплексной частотной характеристики фильтра. Фильтр, не вносящий фазовых искажений, имеет симметричную импульсную характеристику (симметричное окно), а именно это нам и нужно. Окно хорошего качества при этом может достигать размера в несколько тысяч точек (шире окно - выше качество).

Часто требуется управлять коэффициентом перекрытия АЧХ смежных частотных каналов, отношением ширины окна к количеству частотных каналов, коэффициентом децимации и другими параметрами обработки. Поэтому для повышения гибкости этого алгоритма перед вычислением FFT применяют дополнительные операции: перекрытие блоков сигнала во времени до взвешивания (overlap) и полифазное суммирование его субблоков после взвешивания (add), не меняющие принципиальной сущности метода. Этот модифицированный алгоритм называется WOLA filterbank (Weighting, OverLap and Add) или по-русски - WOLA анализ, банк полифазных фильтров.

http://en.wikipedia.org/wiki/Filterbank, https://casper.berkeley.edu/wiki/The_Polyphase_Filter_Bank_Technique
http://www.dsplib.ru/content/polyphasefft/polyphase.html

Таким образом, при помощи вычислительно эффективного ядра N-точечного дискретного преобразования Фурье (Fast Fourier Transform), реализуется как бы "многоканальный DDC" в виде банка полосовых фильтров WOLA, в котором все N частотных каналов (а их могут быть сотни и тысячи), вычисляются совместно и одновременно. При этом фильтр, формирующий АЧХ всех каналов, является общим и вычисляется только один раз при взвешивании блока входного сигнала. Всё это в отличие от традиционного DDC, в котором каждый частотный канал вычисляется отдельно и должен иметь собственный децимирующий фильтр.

Недостатком такого банка полосовых фильтров является жестко фиксированный шаг каналов по частоте, а также их абсолютная идентичность по ширине полосы. Однако, при необходимости, несколько смежных частотных каналов на выходе банка можно объединить в один, более широкополосный канал. Эта несложная операция, обратная анализу, называется "синтез" и заключается в интерполяции (повышении частоты дискретизации), формирующей фильтрации объединяемых каналов, сдвиге их спектров на "свои места" и последующем суммировании. Цель формирующей фильтрации - обеспечить ровную АЧХ на стыках объединяемых каналов. Естественно, что все спектральные преобразования комплексных сигналов выполняются при помощи комплексного умножения на комплексную экспоненту cos wt +- i sin wt, при этом никакие побочные продукты и зеркальные каналы не образуются.

Поскольку выходные сигналы как DDC, так и банка полосовых фильтров являются комплексными, то так просто взять их и "послушать" не получится. Перед тем, как подать такой сигнал на воспроизведение, его нужно преобразовать к вещественному виду, то есть сделать спектр сигнала симметричным относительно нуля. А именно: выделить фильтром нужную полосу частот, преобразовать (сдвинуть) спектр в нужную нам сторону (например, для получения телеграфного тона или SSB сигнала) и затем просто отбросить, не вычисляя, мнимую часть результата преобразования. Естественное требование, что в результате фильтрации и сдвига спектра (перед отбрасыванием мнимой части), в нашем комплексном сигнале должны остаться только частоты одного знака (только положительные или только отрицательные). Иначе - "здравствуй, родной наш зеркальный канал", про который при цифровой обработке комплексных сигналов мы уже давно забыли.

О спектральных преобразованиях вещественных и комплексных сигналов.

Для того, чтобы преобразовать (т.е. линейно сдвинуть по оси частот вправо или влево на величину Wo = 2 пи Fo рад/сек) симметричный спектр вещественного сигнала s(t), этот сигнал нужно умножить на комплексную экспоненту соответственно положительной или отрицательной частоты Wo:

s(t) exp ( i Wo t ) = s(t) cos (Wo t) + i s(t) sin (Wo t) - сдвиг вправо,
s(t) exp ( -i Wo t) = s(t) cos (Wo t) - i s(t) sin (Wo t) - сдвиг влево.

При этом на выходе преобразователя получается комплексный сигнал (Re + i Im) с несимметричным спектром. Эти случаи рассмотрены на верхнем рисунке во вложении, схемы 1 и 2 соответственно. Направление сдвига спектра определяется знаком плюс или минус при умножаемой опорной синусоиде (мнимой части комплексной экспоненты). Как правило, полезным является продукт преобразования, сосредоточенный вокруг нулевой частоты (комплексная огибающая, complex envelope). При этом "вторая половинка" спектра исходного сигнала образует продукт вокруг частот 2Wo или -2Wo, который часто нам мешает и удаляется при помощи ФНЧ.

Схема 2 применяется в классическом SDR, DDC, DFT и т. д.
Схема 1 применяется, если требуется инвертировать спектр комплексной огибающей.

Для того, чтобы так же преобразовать спектр комплексного сигнала, требуется сделать ровно то же самое, т.е. умножить этот сигнал на комплексную экспоненту положительной или отрицательной частоты Wo. Эти случаи рассмотрены на нижнем рисунке на схеме 3, при этом направление сдвига спектра также определяется знаками при умножаемых опорных синусоидах. Схема умножителя при этом усложняется, так как перемножаются уже два комплексных сигнала (оба сигнала содержат действительную Re и мнимую Im части, раскрываем скобки):

(Re1 + i Im1) (Re2 + i Im2) = (Re1 Re2 - Im1 Im2) + i (Re2 Im1 + Re1 Im2) - сдвиг вправо,
(Re1 + i Im1) (Re2 - i Im2) = (Re1 Re2 + Im1 Im2) + i (Re2 Im1 - Re1 Im2) - сдвиг влево.

Здесь требуется уже четыре умножителя и два сумматора. Инверсия знака при произведении Im1 Im2 получается из-за того, что квадрат мнимой единицы (i x i) = -1.

На схеме 4 показана операция восстановления вещественного сигнала из комплексного, например, чтобы его можно было послушать или передать в канал связи. При этом задействуется только та часть схемы 3, которая вычисляет действительную часть комплексного произведения. Мнимая часть не вычисляется, т.к. у вещественного сигнала она отсутствует. В результате отбрасывания мнимой части, спектр продукта преобразования становится симметричным, а сигнал - вещественным.

Все рассмотренные преобразования при условии их точного выполнения не приводят к появлению зеркальных каналов. Однако, опасность зеркального канала имеется в схеме 4 в случае, если перед отбрасыванием мнимой части спектр комплексного продукта (как бы вычисляемого по схеме 3) не будет состоять целиком из частот одинакового знака.

Если все наши сигналы являются дискретными (цифровыми), то функциональные схемы преобразователей остаются прежними. Однако при этом все спектры на картинках должны быть нарисованы периодическими в обе стороны по частоте. Период повторения спектра дискретного сигнала равен частоте дискретизации.

Об инверсии спектра дискретного (цифрового) сигнала

На практике часто возникает потребность проинвертировать спектр дискретного сигнала. Например, преобразовать сигнал USB в LSB. Или устранить нежелательные последствия спектральной инверсии после операций преобразования спектра или дискретизации в четных зонах Найквиста.

С учетом того, что спектр дискретного сигнала является периодическим, то для инверсии спектра вещественного сигнала нужно его сдвинуть вправо или влево (без разницы) на величину сдвига, равную частоте Найквиста FN. Для этого наш сигнал надо умножить на комплексную экспоненту с частотой Найквиста. При этом спектральная составляющая нулевой частоты переходит на частоту Найквиста и наоборот. А спектр в целом инвертируется относительно центральных частот каждой зоны Найквиста.

В реальности это очень простая операция. Исходную вещественную последовательность требуется умножить на периодическую последовательность 1, -1, 1, -1, ..., то есть просто сменить знак каждого второго отсчета. Значения этой последовательности суть дискретные отсчеты косинусоиды, частота которой равна половине частоты дискретизации Fs, т.е. равна частоте Найквиста. При этом соответствующие значения синусоиды равны нулю, а значит мнимую часть вычислять не нужно. В результате получаем такой же вещественный сигнал, как и исходный, но с инверсным спектром.

Для того, чтобы проинвертировать спектр комплексного сигнала относительно нулевой частоты, нужно действительную и мнимую части сигнала поменять местами. При этом положительные частоты станут отрицательными, а отрицательные - положительными.

О комплексных сигналах и квадратурной обработке

В природе существуют только сигналы вещественные - как функции времени s(t), в форме изменения во времени некоторой физической величины s. Комплексные же сигналы существуют только на бумаге в виде математических моделей или в нашем воображении. Наряду с теоретическими построениями, комплексные сигналы широко используются и в реальных технических устройствах, где раздельно обрабатываются в виде пары синхронных и взаимосвязанных (взаимно ортогональных, сопряженных по-Гильберту) вещественных сигналов - действительной и мнимой частей. Такая обработка называется квадратурной. Ее основные достоинства - отсутствие побочных продуктов при спектральных преобразованиях, простота выполнения модуляции и демодуляции, т.е. помещения в сигнал и извлечения из сигнала информационных компонент.

В аналоговую эру радиолюбители обходили комплексные сигналы стороной, предпочитая бороться с зеркальными каналами в своих трансиверах при помощи многократного преобразования частоты. Причина этого в том, что пользу от квадратурной обработки можно получить лишь при достаточно точном выполнении операций, что при аналоговой реализации приводит к непропорционально большим издержкам. В конце прошлого века тему квадратурной обработки в трансиверах прямого преобразования активно продвигал В.Т. Поляков, где она применялась для подавления зеркального канала и формирования однополосного сигнала. Но только с появлением SDR, где большая часть обработки сигнала стала выполняться в цифровом виде, комплексные сигналы по-настоящему вошли в любительскую технику.

Математически один и тот же комплексный сигнал S(t) может быть записан в двух взаимосвязанных формах - в виде суммы действительной (Re) и мнимой (Im) частей, а также в показательной форме в виде комплексной экспоненты с модулем A и аргументом Ф:

S(t) = Re + i Im = A exp ( i Ф ),

A = SQRT ( Re * Re + Im * Im ),
Ф = arctg ( Im / Re ) + С.

Здесь i = SQRT (-1) - мнимая единица, SQRT - операция извлечения квадратного корня, С - константа 0 или пи, зависящая от знаков Re и Im, а величины Re, Im, A, Ф суть функции времени.

Эти соотношения позволяют в любой момент времени непрерывно и точно извлекать из принятого вещественного сигнала информационные компоненты: огибающую A и полную фазу Ф (по модулю 2 пи), если известны действительная и мнимая части комплексного сигнала. То есть, выполнять демодуляцию.

Обратные соотношения: Re = A Cos Ф, Im = A Sin Ф позволяют выполнять модуляцию.

Простой способ получить комплексный сигнал из исходного вещественного радиосигнала с ограниченным спектром и несущей Wo - умножить его на комплексную экспоненту exp ( -i Wo t ) и при помощи фильтра выделить полезный продукт преобразования в окрестности нулевой частоты - комплексную огибающую (complex envelope). Такой комплексный сигнал удобен тем, что он не содержит несущей частоты Wo. Информационные компоненты А и Ф при демодуляции вычисляются из него напрямую, т.к. несущая не мешается под ногами. И наоборот, действительная и мнимая части комплексной огибающей при модуляции напрямую вычисляются из информационных компонент A и Ф.

Есть и другой способ, часто применяемый для видеосигналов. Для того, чтобы получить из вещественного сигнала сопряженную с ним мнимую часть без преобразования частоты, применяют преобразователь (фильтр) Гильберта, который задерживает фазы всех спектральных составляющих сигнала на 90 градусов без искажения их амплитуд. Такой комплексный сигнал называется аналитическим сигналом. Его особенность в том, что спектр не содержит отрицательных частот, а несущая нескомпенсирована. Недостатки - физически реализуемый фильтр Гильберта блокирует постоянную составляющую и примыкающие к ней нижние частоты, а его выходной сигнал имеет задержку во времени на половину ширины апертуры фильтра (ширины скользящего окна обработки, интервала интегрирования, порядка нерекурсивного дискретного фильтра). Чем шире полоса сигнала и выше требования к качеству АЧХ/ФЧХ фильтра, тем эта задержка будет больше. Идеальный фильтр Гильберта физически нереализуем, его апертура и задержка были бы бесконечными. Для радиосигнала с бесконечно узким спектром фильтр Гильберта вырождается в простую линию задержки на пи-пополам.

Из аналитического сигнала можно получить комплексную огибающую (и наоборот) путем сдвига спектра в соответствующую сторону, т.е. простым умножением на комплексную экспоненту. Вещественный сигнал восстанавливается из аналитического простым отбрасыванием мнимой части. Примеры спектров обоих разновидностей комплексных сигналов можно посмотреть на нижнем рисунке парой сообщений выше (в теме о преобразовании спектров, http://forum.ut2fw.ru/viewtopic.php?f=2&t=32&p=4517#p4509). Там же внизу дан пример восстановления вещественного сигнала из комплексной огибающей через промежуточное (но неполное) преобразование его к аналитическому сигналу.

Модуль спектра комплексного сигнала (в отличие от вещественного) не является четной функцией, то есть его спектр не симметричен относительно нулевой частоты. В комплексном сигнале можно отличить положительные частоты от отрицательных. Если мнимая часть какой-либо спектральной составляющей отстает по времени от действительной части - то эта частота положительная. А если опережает - то отрицательная. Конечно, опережение и отставание всегда должны быть строго на 90 градусов, так как действительная и мнимая части взаимно ортогональны (сопряжены по-Гильберту). Это означает, что на каждой частоте они соотносятся между собой как косинус и синус (косинус и минус синус). Нулевая частота в спектре комплексного сигнала ничем не выделяется и является равноправной со всеми остальными частотами.

Комплексные сигналы удобно наглядно представлять на комплексной плоскости, где по оси абсцисс откладывается действительная часть, а по оси ординат - мнимая, см. рисунок во вложении. Тогда, к примеру, комплексный сигнал положительной частоты exp ( i t ) = cos t + i sin t будет на ней представлен в виде точки, вращающейся с течением времени по окружности единичного радиуса против часовой стрелки со скоростью 1 оборот за 2 пи секунд. А сигнал отрицательной частоты exp ( -i t ) = cos t - i sin t будет вращаться так же, но по часовой стрелке. В каждый момент времени эти две точки симметричны относительно оси абсцисс. Такие два сигнала называются комплексно сопряженными, а их векторная сумма всегда будет вещественной косинусоидой, что показывает формула Эйлера: 2 cos t = exp ( i t ) + exp ( -i t ). Эта формула также показывает, что спектр вещественного косинуса симметричен и состоит из двух половинок: одна на положительной, а другая - на отрицательной частоте. Такой спектр называется двусторонним. Комплексный сигнал нулевой частоты exp ( i 0 t ) = cos 0 = 1 отображается на комплексной плоскости неподвижной точкой с координатами 1 + i 0. На комплексной плоскости хорошо видны взаимосвязи между величинами Re, Im, A, Ф, а вышеприведенные формулы для их взаимных преобразований следуют из элементарных геометрических построений.

Конечно, сами понятия положительной и отрицательной частоты, а также двустороннего спектра существуют только теоретически, когда мы рассматриваем сигналы через призму комплексных математических моделей. Но они нам дают в руки мощный инструмент анализа, который позволяет обобщить множество частных случаев.

Подробнее о комплексных числах и их свойствах: http://dsplib.ru/content/complex/complex.html
О преобразовании Гильберта (Hilbert Transform): http://dsplib.ru/content/hilbert/hilbert.html

Михаил, приветствую. Премного благодарен за приложенные усилия по "DDC-SDRо-ликбезу для народу"...
Давно заметил - если к тебе пристают с вопросами - со своей стороны задай вопрошателю свой вопрос - больше ты его не увидишь. Так и в тему ранее задаваемых вопросов по DDC - это же нужно напрягаться - столько букав в тему перечитать - даю 120% - больше вопросов задано не будет... Редко кто будет вникать - проще прочесть на заборе написанное - "легко переваривает +60дБ!" и принять за истину...

_________________
Aleksandr

Дядя Саша, благодарю за предоставленную площадку. Надеюсь, что от этих усилий была польза. Но польза есть и для автора. Когда нужно изложить некоторый материал в доступной и связной форме, приходится по-новому его пропускать через себя, и сам же обнаруживаешь в нем такие вещи, о которых раньше даже и не задумывался - как, оказывается, на самом деле всё просто и взаимосвязано -)))

Мне сложно судить, насколько доступно и понятно изложение для простого читателя, возможно, не слишком подготовленного математически. Я намеренно стремился минимизировать в нем высшую математику. Поэтому на 120% приветствую любые вопросы, в том числе и каверзные. Может быть, какие-то темы остались не освещенными и я их упустил, рассчитывая на их кажущуюся очевидность и общеизвестность - всё это поправимо.

73! До новых встреч в эфире
UA4NE

Если хотя бы одному человеку будет интересно почитать - вот и польза.
По площадке - ранее уже сообщал, повторюсь - конкуренция - движитель прогресса - предложений хостинга на сегодня много - вот и моего хостера "попустило" - вполне удобоваримая цена за безлимитный хостинг. Т.е. нет никаких ограничений в объеме выкладываемой информации - сколько будет и сколько хочется - столько и выкладывай - всё равно "за всё уплачено!" Я бы даже сказал, что любое "выкладывание" приветствуется - в противном случае просто теряется смысл безлимита.
По вопросам - главный вопрос сегодняшнего потребителя, коими является 90% радистов - какое радио купить? и стоит ли радио тех денег, которые за него просят? Одному достаточно прочесть что "на заборе написано" и побежал покупать... Но много народу на сегодня (хотя бы) пытаются вникнуть в тему и разобраться самостоятельно, что покупать, а что нет. Очень много заказных статей в инете - мы ещё не научились их отличать от истины. И очень много "заборных надписей" от не вникающей в тему публики. В итоге практически по любому товару (а наша техника это тоже товар) крайне сложно найти действительно грамотную и не заинтересованную информацию.
К примеру - недавно озаботился покупкой цифрового фотоаппарата (ЦФК) - потерял массу времени на прочтение инфо в инете. В русскоязычном секторе всего пару-тройку ресурсов где выкладывают технические обзоры по ЦФК. Но и их нельзя назвать не заинтересованными, т.к. как правило те ресурсы финансируются торговыми конторами. В итоге пришлось сравнивать инфо из наших ресурсов с "забугорными" и только после этого принимать решение к выбору. Ухлопал уйму времени пока понял, что при всём кажущемся многообразии выбор всего из нескольких моделей.
Ваша информация и восполняет пробел по DDC-SDR-ской технике. Для думающего радиста она весьма будет полезна.
Как пожелание - теорию знать конечно желательно - как в выборе того же ЦФК - полезно знать что такое светосила, отличия оптического от цифрового увеличения и т.д. - но пользователя интересуют в первую очередь сравнительные потребительские качества. Т.е. рассмотреть бы с "теоретической" точки зрения конкретные модели DDC-SDR-ской техники.

_________________
Aleksandr

Все опубликованные здесь ликбезовские статьи по теме DDC SDR причесал, дополнил и разместил в правильной последовательности на родном сайте:

http://r4n.su/forum/viewtopic.php?f=28&t=331

Хочу кое что уточнить для себя. Если имеем DDC приемник с частотой дискретизации F1, то
справедливо ли следующее:

1) Имеем бесконечное количество зеркальных каналов отстоящих от
частоты приема на F1*N. Но с ними легко бороться т.к. F1 велико
2) При заданной точности цифровой обработки условно считаем, что
дополнительных побочных каналов приема НЕ появляется
3) Фундаментальные параметры приемника определяются только аналоговой частью
(включая АЦП).

Михаил, не было времени изучить все посты по теме ЦОС, но бесспорно такая
работа заслуживает похвалы.
Когда информация собрана, причесана и выложена в одном месте это всегда
приятно

Здесь надо немножко уточнить. Частоты зеркальных каналов будут размещены так, как указано в цитате, только в нечетных зонах Найквиста. А в четных зонах - на расстоянии F1-2f от предыдущего нечетного, где f - частота приема в основном канале первой зоны. Расстояния между смежными зеркальными каналами будут чередоваться так: F1-2f, 2f, F1-2f, 2f, и т.д. То есть, они будут следовать в два раза чаще и неравномерно.

Это неравномерное чередование получается из-за того, что в четных зонах Найквиста спектр дискретного сигнала инвертирован.

Всё остальное справедливо. И если нас не интересует прием на УКВ, мы перед АЦП тупо ставим ФНЧ и принимаем сигнал только в первой зоне - в диапазоне частот от нуля до F1 / 2 (частоты Найквиста). Естественно, с той оговоркой, что в районе частоты Найквиста зеркальный канал второй зоны будет размещен близко к основному, и тут нужен очень хороший фильтр.

В общем случае трудности отфильтровки смежного зеркального канала будут возникать в диапазонах частот близ границ зон Найквиста. Поэтому эти диапазоны обычно исключаются из рабочих диапазонов частот приемников прямой оцифровки.

Интересно, что в DDC приемнике можно организовать одновременный прием сигналов из разных зон Найквиста, например, КВ и УКВ диапазонов. Условие одно - после дискретизации спектры сигналов из разных зон не должны перекрываться. То есть, на входе АЦП нужны хорошие диапазонные фильтры. И ещё должны сойтись звёзды - в виде удачно выбранной частоты дискретизации -)))

Хорошо, что спросил - не учел эту математику.

Выходит опыт построения аналоговых гетеродинов с "преобразованием вверх" никуда не
делся и понадобится в большем объеме в технике DDC.

Опять нужны хорошие диапазонные (или как назвать - оптимальные фильтры для комбинации зона/частота)
фильтры.
Причем нужны как никогда - современный эфир напрочь засран
цифровыми дешевыми данглами. Они хоть и излучают 5-10мВт, но их много и по отношению
к приемнику они находятся в ближней зоне (WiFi у соседа за стенкой).
Из разных "дальних" каналов приема будут приниматься "хвосты" от сотен таких устройств и складываясь
поднимать интегральный "шум".

Качественный генератор для первого преобразования это тоже больная тема.
По идее чем больше тем лучше.
Но спектральные ТТХ дешевых генераторов наверно не блещут.

Из инноваций напрашиваются:
- переключаемый генератор первого преобразования (как ты сказал комбинирует лучшим образом соотношение принимаемых частот)
- параметризируемый ДПФ (изменяемая в реальном времени АЧХ,
возможно он должен настраиваться комплементарно другим настройкам аппарата - например реализовать леписток-провал -150Дб в зоне побочного приема)